Pythagoras, dik üçgenler için tanımladığı ünlü dik kenarlar-hipotenüs bağıntısı, Gauss ise, belli bir aralıktaki tam sayılann toplamı için bulduğu pratik yöntem ile matematik tarihinde kendine yer edinmiş. Felix Christian Klein'ın en sevgili buluşu ise biraz farklı... Klein, bir matematikçi için fazla "elle tutulur, gözle görülür", bir heykeltraş için fazla soyut buluşuyla, kendi adıyla anılan ünlü şişesiyle matematik tari-hine geçmiş. Klein şisesi son yüzyıldır cam zanaatkarlarının, son birkaç yıldır da bilgisayarda geometrik modelleme meraklılannın gözde oyuncak-larından... t
Bir Matematikçinin Sihirli Oyuncağı
Klein Şişesi
FclİJt Christian Klein, 25 Nfean 1849'da şımdi Al-manya. o /amanlar Prtıs-y.ı sımrlarma dalıil olan A Düsseldoıfta dogmu; ve lıayata ntt/.lcrini 21 lla/ir.m 1925'de, \h İKİİİN :ı'ıı ııı (ii'ıt-tîngcn kcrııindc ka-pamış;. Klcin. dokto-rasını l.SoN yılıııda. yıllar hoyıı matcma-tik \c fi/ık alanlarıtı-da çalıjma yaptıgı Bonn ('nivcrsitesi'nden ilmiij. Çeşuli ünivcrsitc-lcıdc ö£>ıctim görc\lisi ola-rak calışmularda hıılundııktan
sonta îKHd'ıla kürsii basjtanüğına ka-dur yiikscldigi (ittttingen ('niversitc-si'ndcki ealışmalarım öliimünc kadaı siirdiinniış
Klcin'ın Götringen l'nivcrsitcsi'ndc ycrlcstirdiûi araştırma gclenekleri. i/.lc-ycn vıll.ırda. c'ıııdc gclen matematiksel araşıırıııa ıncıkc/lcri i\in modcl olııştur-
muf, llaftalık matcmatikscl
tartışmu ctkinliklcri dü/cn-
lcycn Klcin, sadccc ma-
tcmatik alanındaki ki-
taplaria donanlmi] biı
kitaplıga salıip, "ma-tcmatik okııma oda-sı" da kıırmıii. Klc-iıı, üıılii matcnıatikci Hilhcrt'i dc. (iöttin-gcn'dcki arastırma grtıbuna davct ctmiş. ('nlii Mathcmatischc Annalcn dcrgisinin na-mı, hira/ da. Klcin'm matcmatik \c ysın(./2)/2) . - sin(*/2)sın(<) • oos(«/2)8ln(Zf)/2)
;
jub.ı ı*>:
29
Klein şişesinin Figür-8 çeşillemesinin bir matematiksel modelleme programı yardımıyla elde edilmiş iki görüntüsü. Bu yazıda verilen parametrik denklemlerdeki a sabitine 2 değeri verildiğinde soldaki. 1 değeri verildiğinde sağdaki şekil elde ediliyor. Sağdaki şekilde aynca. geometrik nesnenin iç yûzünü de sergilemek amacıyla yüzeyin bır kısmı çıkarılmış.
Topolojik Eğlence
Klcin şigesinin tıılıal ii/ellikleri sayı-M/ topolöjj problcmine oldııüıı kadar. sa-ııat yapıtlarırıa. hıılmaealara. oyımlara hatta şjirlcre ilham kavnagı olmus. »Bilg-ısav.uda matcmatikscl gcnmctrik nıodcl-lcmc nıcrkc/lcrinin öndc gclcnlcrindcn Minncsota 1 nivcrsitesi'ndcki (Jcomctri Merke/i'nin Intcrnct sayfalannda, Klcin MSCSİİİC ait sayısı/ rcsim. animasyon vc açıklamanın yanı sıra. hir dc satranc
programı bulnak olası. Kcnan olmavan
hir satranc uluasına dttnüşıürillcbilcn,
taşjarın hirhirinin /.ıt tarafında. hir yllzc-yin farklı (tııhaf aına aslında aynı) yii/lc-riııdc iist iiste dıırahildiklcri satranc oyıı-nıı İİRİnc hir dcnevim. Klcin şisoini kcndinc eğlcnce cdinenlcrdcn hir haj-kası, "hilimscl cam şişjrici" Alaıı bcıınct. Klcin şişesinin ce§itlcmclcrini laboratu-var mal/.cmcsi nttriiniimiinde canı ka|)lar (l/.crindc dcneycn Mcnnett, 18 a\ siircn dcncınc yanılma siirccindcn sonr.ı. 11 biikiilmc noktasi ve 5 tam tıır ıçeren. kc-narsı/,. dolavısivla da tck vü/.lii hiı sışc yapabilmiş. Berınett, "Bcn birbilim ada-nıı dc£ilım. bilimscl hir cam şişiriciyitn.
Fıgur-8 çeşıtlemesınm çesttli açılardan bakılarak oltışturulmuş goruntulen. Son gorun-tüde bir parçanm ayırıimıs olması. 8 biçlmmdekı kesıtı ortaya çıkarıyor.
Vapıtlarımı biliınscl nncrmelcrlc acıkla-yamam. Hcnim ugraşağım vc hirçcylcr haş.u.ıhıldigim: tasarım problcmleri ya-ratmak vc dcncşcrck ctt/ınek" diyor.
Ilcrkcsin evdc deııcylcrc gircsebilc-ccgi lıiı Klciıı şişcsi ceşırleınelcriııden hi-ri. yiindcn orülmü^ hir herc nljhilir. Diin-va ii/erindc Klcin sjşcsi biciminde imil-rniiş, herelcnn savısiz mcraklısı var. bcrc-ni/.in ic ve dış kısımlarıuı (bıından ııc an-liyorsaniz) farklı rcnklcrdc. öriip. tcrvvii/ edcrek il»iııc sonııclar cldc edcbilirsiniz. Vanına bir dc Moehiııs jeridi bicimiıulc .ıtkı cklcvccck nlıırsanı/ topolojik hir kış-lık takımını/ olur. Mklncn ılc ııclcı \:ıpı-
labileceğini isc size bırakıyoruz...
Muzip matcmatik ügrcncilcrinin. matcmatik ödcvlcrini yapmamıj c»lıı>la-rım açıkJamak için uydurup, Internct ii/.crındcn yaydıkları halıancler arasırı-dan ba/.ı secıneler: "Vanlışlıkla bir tam sayıyı sıfıra böldüm vc ödev kajiıtlarım alev uldı: kitahıma asimptotik ularak yaklaşabiliyor ama dokunamıyordum. Bdevinü çekmeceyc kilitlcdim ama dttrı hoyııtlıı hir kiipck gclip onıı yedi: ikie. i-mi bır Klcin sisesinin 'icmc' kovdıı£ııma ycmin cdebilirim, ama sahah kalktıfiım-da ıırada degikli". Bir başky matcmatik ögrencisi Laıırcn Wcinstcin'ın bir tt/.de-yisi Klcin sişcsinin rüm matcmatikscl. cdehi ve ını/ahi ilhamıııı ivı lm şckılılc ttzeıliyon "llir Rııhik Kiiresi cdındijîim-dc onıı nercye koyacağımı lıiliyonım: Klcin şişesinin 'icine'."
OzgDt Kıırtıılıi) KıjınMf
«,,w ;.-,.m ııınlıullı<".>'t"|»-,w'crt.llıt..
«l»»JttllllA!jlLan/IU4"lWccnOM;ın\1;,r, t.....I
**» mıtlıcıiLjlKj,ıKtıJn..,ttı%,|iıtıtK.ljtc,Tk:Vlcın html
,;n
llılıms. ı.l.ı-ı
